<PART 2> 그래프이론 (크루스칼 알고리즘)

신장 트리: 하나의 그래프가 있을 때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프

이처럼 맨 위의 그래프에서는 여러 개의 신장 트리를 찾을 수 있습니다. 신장 트리가 아닌 부분은 1개의 노드라도 포함시키지 않거나 노드간에 사이클이 존재할 때입니다.

- 크루스칼 알고리즘
크루스칼 알고리즘: 신장 트리 중에서 최소 비용으로 만들 수 있는 알고리즘

1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬합니다.
2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인합니다.
    2-1) 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함시킵니다.
    2-2) 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않습니다.
3. 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복합니다.

크루스칼 알고리즘의 핵심 원리는 가장 거리가 짧은 간선부터 차례대로 집합에 추가하면 됩니다. 이때 최종적으로 신장 트리에 포함되는 간선의 개수가 '노드의 개수 - 1 '과 같다는 특징이 있습니다.
예를 들어 위의 그림에서는 노드의 갯수가 0~6인 7개이며 간선의 개수는 7 - 1인 6입니다. 시간 복잡도는 O(ElogE)입니다.

간선	(0,1)	(0,5)	(1,2)	(1,6)	(2,3)	(3,4)	(3,6)	(4,5)	(4,6)
비용	28	10	16	14	12	22	18	25	24
순서	step 9	step 1	step 4	step 3	step 2	step 6	step 5	step 8	step 7

위의 그림을 표로 정리한 내용입니다. 비용이 적은 순서대로 step이 진행됩니다. 이때 사이클이 생기는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않습니다. 노드의 개수가 7개이므로 간선의 개수가 6개임을 확인할 수 있습니다.

입력 예시)
7 9
0 1 28
0 5 10
1 2 16
1 6 14
2 3 12
3 4 22
3 6 18
4 5 25
4 6 24

출력 예시)
99

#특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]
 
#두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent,a,b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b
 
#노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) #부모 테이블 초기화
 
#모든 간선을 담을 리스트와 최종 비용을 담을 변수
edges= []
result = 0
 
#부모 테이블 상에서, 부모를 자기 자신으로 쵝화
for i in range(1,v+1):
    parent[i] = i
 
#모든 간선에 대한 정보를 입력받기
for _ in range(e):
    a, b, cost = map(int, input().split())
    #비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번쨰 원소를 비용으로 설정
    edges.append((cost,a,b))
 
#간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()
 
#간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
    cost, a, b = edge
    #사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
    if find_parent(parent,a) != find_parent(parent,b):
        union_parent(parent,a,b)
        result += cost
 
print(result)