<PART 2> 최단 경로 알고리즘 (다익스트라)

최단경로: 말 그대로 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘

최단 알고리즘 유형에는 다양한 종류가 있는데, 상황에 맞는 효율적인 알고리즘이 이미 정립되어 있습니다.
예를 들어 '한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경우', '모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우'등의 다양한 사례가 존재합니다.

최단 경로 알고리즘은 보통 그래프로 표현하는데 각 지점은 그래프에서 '노드'로 표현되고, 지점 간 연결된 도로는 그래프에서 '간선'으로 표현됩니다. 또한, 실제 코딩 테스트에서는 최당 경로를 모두 출력하는 문제보다는 단순히 최단 거리를 출력하도록 요구하는 문제가 많이 출제 됩니다.

컴공과 학부 수준에서 사용하는 최단 거리 알고리즘은 다익스트라 최단 경로 알고리즘, 플로이드 워셜, 벨만 포드 알고리즘 총 3개입니다. 여기서는 다익스트라 최단 경로와 플로이드 워셜 알고리즘만 다룹니다. 이 2가지가 코딩 테스트에서 가장 많이 등장하는 유형입니다.

앞서 공부한 그리디 알고리즘과 다이나믹 프로그래밍 알고리즘이 최단 경로 알고리즘에 그대로 적용됩니다. 다시 말해 최단 경로는 그리디 알고리즘 및 다이나믹 프로그래밍 알고리즘의 한 유형입니다.

- 다익스트라 최단 경로 알고리즘

이처럼 0번 노드로 부터 출발했을 때 1,2,3,4,5,6번 노드까지 가기 위한 최단 경로가 각각 5,9,11,3,10,8라는 의미입니다. 다익스트라 최단 경로 알고리즘에서는 '방문하지 않은 노드 중에서 가장 최단 거리가 짧은 노드를 선택'하는 과정을 반복하는데, 이렇게 선택된 노드는 '최단 거리가 완전히 선택된 노드이므로, 더 이상 알고리즘을 반복해도 최단거리가 줄어들지 않습니다. 즉, 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있습니다. 그렇기 때문에 마지막 노드에 대해서는 이미 나머지 0~5노드의 6개 노드에 대한 최단 거리가 확정된 상태이므로 확인할 필요가 없고, 더이상 테이블도 갱신될 수 없습니다.

방법1. 간단한 다익스트라 알고리즘
단계마다 '방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택'하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(순차 탐색)합니다

위 그림대로 노드,간선이 있는 경우, 표로 정리하면 다음과 같다.

노드 번호	1	2	3	4	5	6
거리	0	2	3	1	2	4

입력 예시)
6 11    (노드와 간선의 갯수)
1         (시작노드 번호)
1 2 2   (시작노드, 도착노드, 비용)
1 3 5
1 4 1
2 3 3
2 4 2
3 2 3
3 6 5
4 3 3
4 5 1
5 3 1
5 6 2

출력 예시)
0 (1번노드부터 최단거리)
2
3
1
2
4

 
INF = int(1e9) #무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
 
#노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n,m = map(int,input().split())
#시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
#각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
#방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n+1)
#최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] *  (n+1)
 
#모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a,b,c=map(int,input().split())
    #a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b,c))
 
#방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 #가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1,n+1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index
 
def dijkstar(start):
    #시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    #시작 노드를 제외한 전체 n-1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n-1):
        #현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서,방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now]= True
        #현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            #현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost
#다익스트라 알고리즘 수행
dijkstar(start)
 
#모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1,n+1):
    #도달할 수 없는 경우, 무한(infinity)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("infinity")
    #도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

이는 시간 복잡도가 O(V^2)입니다. 왜냐하면 총 O(V)번에 걸쳐서 최단거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 하고, 현재 노드와 연결된 노드를 매번 일일이 확인하기 때문입니다.

따라서 전체 노드의 개수가 5000개 이하라면 가능하지만 10000개이상일 경우는 '개선된 다익스트라 알고리즘'을 사용해야 합니다.

-방법 2. 개선된 다익스트라 알고리즘
이 알고리즘의 시간 복잡도는 O(ElogV)이며, E는 간선의 개수, V는 노드의 개수를 말합니다.
개선된 다익스트라 알고리즘은 힙 자료구조를 사용합니다.최단 거리에 대한 정보를 힙에 담아서 처리하므로 더욱 빠르게 찾을 수 있는데, 이 과정에서 선형시간이 아닌 로그 시간이 걸립니다. N=1,000,000일 때 log2(N)이 약 20이므로 속도가 획기적으로 빨라지는 것을 이해할 수 있습니다.
먼저, 힙에 대해서 먼저 알아야 합니다.

- 힙 자료구조
힙 자료구조는 우선순위 큐를 구현하기 위하여 사용되는 자료구조 중 하나입니다.
우선순위 큐는 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제한다는 점이 특징입니다.

자료구조	추출되는 데이터
스택(Stack)	가장 나중에 삽입된 데이터
큐(Queue)	가장 먼저 삽입된 데이터
우선순위 큐(Priority Queue)	가장 우선순위가 높은 데이터

당연하게도 우선순위 큐 라이브러리를 지원하기 합니다. PriorityQueue 혹은 heapq를 사용할 수 있는데 heapq가 더 빠르게 동작하기 때문에 더 추천합니다.
우선순위 값을 표현할 때는 일반적으로 정수형 자료형의 변수가 사용됩니다. 예를 들어 물건 정보는 물건의 가치와 물건의 무게로만 구성됬을 때, 모든 물건 데이터를 (가치,물건)로 묶어서 우선순위 자료구조에 넣을 수 있습니다.
이후에 물건을 꺼내게 되면, 항상 가치가 높은 물건이 먼저 나오게 됩니다.

또한, 우선순위 큐를 구현할 때는 내부적으로 1.최소 힙 혹은 2. 최대 힙을 이용합니다.
최소 힙을 이용하는 경우 '값이 낮은 데이터가 먼저 삭제'되며, 최대 힙을 이용하는 경우 '값이 큰 데이터가 먼저 삭제'됩니다.
파이썬 라이브러리에서는 기본적으로 최소 힙 구조를 이용하는데 다익스트라 최단 경로 알고리즘에서는 비용이 적은 노드를 우선하여 방문하므로 최소 힙 구조를 기반으로 하는 파이썬 우선순위 큐 라이브러리를 그대로 사용하면 적합합니다.

또한 최소 힙을 최대 힙처럼 사용하기 위해서 일부러 우선순위에 해당하는 값에 음수 부호(-)를 붙여서 넣었다가, 나중에 우선순위 큐에서 꺼낸 다음에 다시 음수 부호(-)를 붙여서 원래의 값으로 돌리는 방식을 사용할 수 있습니다. 이러한 테크닉도 실제 코딩 테스트 환경에서는 자주 사용됩니다.

최소 힙을 이용하는 경우 힙에서 원소를 꺼내면 '가장 작은 원소'가 추출되는 특징이 있으며, 파이썬의 우선순위 큐 라이브러리는 최소 힙에 기반한다는 점을 기억해야 합니다. 이러한 최소 힙을 다익스트라 최단 경로 알고리즘에 적영할 것입니다. 단순히 우선순위 큐를 이용해서 시작 노드로부터 '거리'가 짧은 노드 순서대로 큐에서 나올 수 있도록 다익스트라 알고리즘을 작성하면 됩니다.

입력 예시)
6 11    (노드와 간선의 갯수)
1         (시작노드 번호)
1 2 2   (시작노드, 도착노드, 비용)
1 3 5
1 4 1
2 3 3
2 4 2
3 2 3
3 6 5
4 3 3
4 5 1
5 3 1
5 6 2

출력 예시)
0 (1번노드부터 최단거리)
2
3
1
2
4

import heapq
 
INF = int(1e9) #무
#무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
 
#노드의 갯수, 간선의 개수를 입력받기
n,m = map(int,input().split())
#시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
#각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
#최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)
 
#모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int,input().split())
    #a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b,c))
 
def dijkstra(start):
    q = []
    #시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여,큐에 삽입
    heapq.heappush(q,(0,start))
    distance[start] = 0
    while q: #큐가 비어있지 않다면
        #가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist,now = heapq.heappop(q)
        #현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        #현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            #현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q,(cost,i[0]))
 
#다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)
 
#모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
    #도달할 수 없는 경우, 무한(infinity)라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print('infinity')
    #도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])
 

단순한 다익스트라의 get_smallest_node()라는 함수를 작성할 필요가 없다는 특징이 있습니다. '최단 거리가 가장 짧은 노드'를 선택하는 과정을 다익스트라 최단 경로 함수 안에서 우선 순위 큐를 이용하는 방식으로 대체할수 있기 때문입니다.

최소한 다익스트라 최단 경로 알고리즘의 소스코드만 잘 기억해둡시다. 그러면 최단 경로 문제를 풀 수 있으며 많은 문제를 풀다보면 결국엔 정확한 내용까지 잘 이해하게 될 것입니다. 최소 힙이므로 '항상 가장 작은 값이 먼저 나온다'라는 특징을 지키면서 heapq 라이브러리를 이용하면 됩니다. 또한 기본적으로 튜플의 첫 번째 원소인 '거리'정보를 기준으로 해서 우선순위 큐를 구성하므로 거리가 짧은 원소가 항상 먼저 나옵니다.다익스트라 최단 경로 알고리즘은 우선 순위 큐를 이용한다는 점에서 우선 순위 큐를 필요로 하는 다른 문제 유형과도 흡사하다는 특징이 있습니다. 그래서 최단 경로를 찾는 문제를 제외하고도 다른 문제에도 두루 적용되는 소스코드 형태라고 이해할 수 있습니다. 그러므로 최소한 다익스트라 최단 경로 알고리즘의 소스코드만이라도 우선적으로 잘 기억해 둡시다.